UNIDAD I
LOGICA
La lógica: Es la de disciplina que trata de los métodos medios y formas de razonamientos romano. Ofrece reglas y técnicas para determinarse si un argumento es valido o no. Una de las metas fundamentalmente de la lógica es eliminar la antigüedad de un lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y contenidos lógicos en la construcción de preposiciones. Dado que la preposiciones son la base del razonamiento lógico que consiste en decir la valides de una idea en base a un enunciado que previamente fueron acertados.
Proposiciones: Una proposición respecto del cual se puede decir si es verdadero o falso pero no ambos a la vez. Es decir toda proposiciones esta asociada a un valor de verdad la cual puede ser verdadera y bien falsa. Así una proposición es verdadera si se dice su valor de verdad es V y es falso si su valor de verdad es F.
Nota: Una proposición es una oración que tiene solo un valor de verdad en el transcurso del tiempo, o cualquiera que sea el lugar de donde se este utilizando dicha proposición.
Ejemplo: Determinar cual de las siguientes oraciones son conjunciones.
- Mañana sale el sol...... SI
- Los gatos hablan...... SI
- Cual es tu nombre..... NO.
- 5+4=8........ SI
- El ser humano es el arquitecto de su propio destino....... SI
- el símbolo H2O es del agua..... SI
Notaciones y conectivos lógicos: A la proposiciones genéricas (autonomía) se acostumbran de arlan por las letras minúsculas p,q,k como parte así por ejemplo
P: Los gatos hablan
q: La tierra es esférica
p: V
f: F
A partir de preposiciones simples se puede generar otras proposiciones simples o compuestas utilizando ciertas constantes preposiciones llamados conectivos lógicos tales como el conectivo no NO, es símbolo "~" el conectivo Y, se denota "n",m y el conectivo o se denota "v", y si entonces, se denota "→", y el conectivo si y solo si se denota "↔", y el conectivo y o excluyente, se denota.Operaciones Preposicionales: Dada una o dos preposiciones cuyo valor de verdad se conoce, la operaciones entre proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracterizar la preposición resultante a través de su valor de verdad.
Negación"~": Sea una preposición p sel lama negación de p a la que se tiene uniendo el contenido no. Se le nota por "no p", el símbolo"~p".
su tabla de verdad
Conjunción: Se llama conjunción a las proposiciones P y q a la proposición obtiene uniendo por medio del conector y, se escribe "p ^ q, se lee "p y q".
Tabla
Nota: El valor de verdad de la conjunción es verdadero si ambos valor de verdad son verdaderos caso contrario es falso.
Ejemplo:
- p: "Juan es Orientista"
- q: "Pedro es Orientista"
- pvq: "Juan y Pedro son Orientistas"
Disyunción: La disyunción de dos proposiciones p y q se llama a la proposición que se obtiene por medio del conectivo o se escribe "p v q", y se lee " p o q".
Tabla
Nota: el valor de verdad en la disyunción p o q es falso si ambos valores de verdad de dichas proposiciones con falso uso contrario son es verdadero.
Ejemplo
- p: "Juan es Orientista"....v
- q: "Juan es Blominista"....F
- pvq: "juan es Orientista o Bluminista".....V
Implicación: Se llama implicación de dos proposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndola por medio del contenido "si..entonces", se escribe "p→q" y se lee "si P entonces q" donde P es la preposición llamadas antecedentes y q proposición consecuente
Tabla
.
Nota: El valor de verdad de la implicación entre "p y q" es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso caso contrario el valor de verdad de la implicación es verdadero.
Doble implicación (vi-condicional):Se llama doble implicación (vi-condicional) de dos proposiciones p o q a la preposición que se obtiene uniendo por medio del conectivo "....si y solo si...", se escribe "p↔q" se lee "p si y solo si q".
Tabla
Nota: El valor de verdad de la doble implicación entre "p y q" es verdadero si ambos tiene el mismo valor de verdad caso contrario es falso.
Definición
p↔q=(p y q) (q→q)
Disyunción exclusiva: Se llama disyunción exclusiva de dos preposiciones p y q a la proposición que se obtiene uniéndola por medio del contenido o excluyente se escribe "pvq" se lee "p excluyente a q"
Tabla
Nota: El valor de vedad de la disyunción exclusiva p y q es verdadero y los valores de verdad son diferentes (opuestos), caso contrario es falso.
Definición
p v q =~(p↔q)
Formulas preposicionales: Una formula proposicional es una combinación y proposiciones y conectivos lógicos que simboliza una composición compuesta o molecular.
Ejemplo
[p→(qvr)] ↔ [(pvq)^r]
Tabla de valores de verdad: El valor de verdad de una formula proposicional depende de los valores de las proposiciones simples de las que la componen. Es decir, se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que la componen las cuales se dan en las primeras columnas por tanto si en una formula proposicional para la tabla de verdad se calcula con dos elevados a la "n" "2".
Clasificación de formulas proposicionales:Las formulas proposicionales se calcifican según su valor de verdad de la columna resultante:la tautologia, contradiccion y contingencia.
- Tautologia: Es una formula proposicional que es verdadera para cualquier combinación de proposición de entrada de dicha formula proposicional.
- Contradiccion: Es una forma proposicional que es falso para cualquier combinación de entrada de dicha formula proposicional.
- Contingencia: Es una formula proposicional que no es ni tautologia ni contradiccion.
LEY ES LÓGICAS
Circuitos lógicos: Un circuito con un interruptor puede estar abierto o cerrado. Cuando el interruptor esta abierto no permite el paso de corriente y asociamos una preposición a cada interruptor; intuitivamente vemos que en el álgebra de circuitos la "v"(verdadero) de las preposición indica que el interruptor esta cerrado "f"(falso) el interruptor abierto.
Circuitos de serie y paralelos: Las operaciones es proposicional se puede representar mediante circuitos lógicos contando interruptores como proposiciones que la componen combinados en serie o paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.
Circuitos en serie: La conclusión de dos proposiciones (p^q) esta representada por el circuito lógico en serie.
_______/ _______/ ________=p^q
p q
p│q│p ^ q │
│ │ │
v│v│____/____/__│V
v│f│____/____/__│F
f│v│____/____/__│F
f│f│____/____/__│F
Circuitos paralelos: Las disyunción de dos proposiciones (p v q) esta representada de un circuito lógico reales.
____/___
___│ │___=p v q
│___/____│
Inferencia lógica: Se debe entender por inferencia lógica en el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. Un razonamiento es valido "si y solo si" las conclusión de las premisas implica la conjunción: Es decir si la premisa son todas verdaderas, entonces la conclusión que deriva de ella lógicamente sera verdadera caso contrario si una o mas premisas en F la conclusion también sera F.
Funciones proposicionales y sus cuantificadores: Una función preposicional es una variable X es toda expresión en la que X representa al objeto perteneciente y cierto conjunto, la cual se convierte a proposición a cada especificación de X. Es decir si P(x) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir la variable X por un objeto matemático, se dice que "p" es una función proposicional. Así mismo hay función proposicional por mas de una variable.
P(x): "x es menor que s"
P²(x): "x es hermano de juan"
P³(x): "x es múltiplo de y "
p¹(6): "6 es menor que 5"
P¹(3): "3 es menor que 5"
P³(2,25): "2 es múltiplo de 25"
P²(pedro): "pedro es hermano de juan"
Cuantificadores: A partir de funciones preposicionales se puede obtener proposiciones generales mediante un método o proceso llamado cuantificador. Para ello introducimos los siguientes símbolos.
Universal Existencial
Circuitos paralelos: Las disyunción de dos proposiciones (p v q) esta representada de un circuito lógico reales.
____/___
___│ │___=p v q
│___/____│
Inferencia lógica: Se debe entender por inferencia lógica en el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. Un razonamiento es valido "si y solo si" las conclusión de las premisas implica la conjunción: Es decir si la premisa son todas verdaderas, entonces la conclusión que deriva de ella lógicamente sera verdadera caso contrario si una o mas premisas en F la conclusion también sera F.
Funciones proposicionales y sus cuantificadores: Una función preposicional es una variable X es toda expresión en la que X representa al objeto perteneciente y cierto conjunto, la cual se convierte a proposición a cada especificación de X. Es decir si P(x) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir la variable X por un objeto matemático, se dice que "p" es una función proposicional. Así mismo hay función proposicional por mas de una variable.
P(x): "x es menor que s"
P²(x): "x es hermano de juan"
P³(x): "x es múltiplo de y "
p¹(6): "6 es menor que 5"
P¹(3): "3 es menor que 5"
P³(2,25): "2 es múltiplo de 25"
P²(pedro): "pedro es hermano de juan"
Cuantificadores: A partir de funciones preposicionales se puede obtener proposiciones generales mediante un método o proceso llamado cuantificador. Para ello introducimos los siguientes símbolos.
Universal Existencial
¥x, “Para todo x” o “cualquiera que sea x”
Ǝx, “Existe algún x, talque” o “existe amenos uX tal que”
¥x: “x es vocal”
Ǝx: “x / x es vocal fuerte”
¥x : P(x) se lee “para todo x, se verifica P(x)
Ǝx / P(x) se lee “Existe algún x, tal que se verifique P(x)”
NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
~( ¥X: P(x) ) = Ǝx / ~P(x)
~( Ǝx / P(x) ) = ¥x : ~P(x)
Sea la oración
“Todo alumno que estudia aprueba la materia”
Expresar utilizando cuantificadores
P(x) “Alumno que estudia
una materia”
Q(x) “Alumno aprueba la materia”
NEGACION
~( ¥x : P(x) → q(x) ) = Ǝx / ~(P(x) v q(x) )
= Ǝx / ~(~P(x) v q(x)
= Ǝx / P(x) ^ ~q(x)
“Existe alumno que estudia y no aprueba la materia”
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