UNIDAD II CONJUNTOS

                                                     UNIDAD II

DEFINICION.-

En el lenguaje corriente emplearemos el vocablo conjunto para referirnos a una pluralidad o colectividad de objetos que se consideran agrupados formando un todo.

De esta noción de pluralidad contrapuesta a la singularidad, ha surgido el concepto matemático de conjuntos. Para poder expresar los elementos que pertenecen a un conjunto, usualmente se emplean las letras minúsculas ( a,b,c …) y para denotar a los conjuntos las letras mayúsculas.

Otros símbolos de usos frecuentes son:

  “ /  “ para expresar  “ TAL QUE “

“ e “ para expresar “ un elemento pertenece a un conjunto “

“ < “ para expresar  “ menor que “

 “ > “ para expresar “mayor que “

“ = “  para expresar “ diferente “

NATURALES   = { 1,2,3 … }

ENTEROS   = { …-2,-1,0,1,2,3 … }

RACIONALES   =  { 2,0,5,¾, 0.6 … }

IRRACIONALES  =  { π , √2 , √107 , e … }

REALES  =

IMAGINARIOS  = { i , o . √-6 … )

                                       DIAGRAMA DE VENN

                           

                                                A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
                                                B = {1; 3; 5; 15}
                                                U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16}

Ejemplo:    A = { 1,2,3,4,5 … }

                      xEA

1EA = V

3EA = v

6EA = F

{ 1,2 }EA = F

{ 4 }EA = F

4EA = V

{}EA = F

                              FALTAN TRES PAG.

CONJUNTOS ESPECIALES

Se llama conjuntos especiales a aquellos conjuntos que se caracterizan por el numero de elementos que componen dichos conjuntos. Entre ellos tenemos:

   CONJUNTO UNITARIO

   CONJUNTO VACÍO

   CONJUNTO UNIVERSAL

CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que se caracteriza por tener un solo elemento.

Ejemplo.-         A = { xEN / x² - 4 = 0 }

                                       X² - 4 = 0

                                     ( x + 2 ) ( x – 2 ) = 0

                                  X + 2 =0       x – 2 =0

                                    X = -2           x = 2

                       B =b { xEZ / x³ = 0 }

                                  √x³ √0               √

                                        X = 0

CONJUNTO VACÍO.- Es aquel conjunto que se caracteriza por no tener elementos

Ejemplos.-  
                     A = { xEN / x² + 5x + 6 = 0 } =  {} = Ø

                                      X² + 5x + 6 = 0

                                  ( x+3 ) ( x+2 ) = 0

                                 X + 3 = 0       x + 2 =0

                                   X = -3         x = -2

                       B = { xER / x² + 4 = 0 }

                             X² + 4 = 0

                           √x²   =   √-4         √

                            X  =  √-4

                           X  =  ± √-1 √4       X  =  ± 2i

CONJUNTO UNIVERSAL “U”.- El conjunto universal también llamado diferencial, es un conjunto del que a partir de sus elementos se pueden formar otros subconjuntos.

Ejemplos.-           U = { xEN / x < 10  } = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

                            A = { xEU / 2x² - 5x + 3 = 0 }  =  { 1 }

                             Falta una operación del complejo

                           B = { xEU / x es primo }

                           B = { 1,2,3,4,5,6,7 }

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Se que el símbolo pertenece, relaciona un elemento con un conjunto, asi mismo se puede relacionar dos conjuntos tomando las siguientes definiciones.

    *INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

Sean A y B los conjuntos definidos en un mismo universo  se dice que A es su conjunto de B si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.                     Se denota por  “ A c B “

                AcB si y solo si 

                               Ejercicio incompleto

*IGUALDAD DE CONJUNTOS  A y B

Sean A y B los conjuntos definidos en un mismo universo, se dice que A y B son iguales si A es un conjunto de B y B es un conjunto de A, es decir si ambos conjuntos están formados por los mismos elementos.

           A = B si y solo si A c B ^ B c A 

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

Sea A un conjunto finito definido en un universo U. Llamaremos cardinalidad de A al numero de elementos del conjunto A. Y se denota por:

Ejemplo   A = { a,e,i,o,u }

                Ŋ(A) = 5

PROPIEDADES

1.- ŋ (AUB) = ŋ(A) + ŋ(B) – ŋ(AƞB) ŋ(A) = 9

2.- ŋ(-B) = ŋ(A) – ŋ(AƞB)

3.- ŋ(AᴧB)= ŋ(AƞB) –  ŋ(AƞB)

4.- ŋ(AUBUC)= ŋ(A) + ŋ(B) + ŋ(C) – ŋ(AƞB) – ŋ(AƞC) – ŋ(BƞC) + ŋ(AƞBƞC)

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

B = { 1,2,3,5,7 }

AƞB = { 1,2,3,5,7 }

ŋ(A) = 9

ŋ(B) = 5

ŋ(AƞB) = 5

aplica propiedad numero 1

ŋ(AƞB) = 9 + 5 – 5 = 9

ŋ(A-B) = ŋ(A) – ŋ(AƞB)   = 9 – 5

ŋ(A-B) = 4

A-B = { 4,6,8,9 }

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados ( x,y ) tales que la primera componente pertenece al conjunto A y la siguiente componente Y pertenece al conjunto B, se denota por  AxB

Símbolos         AxB = { ( x,y ) / xEA ᴧ YEB }

                      ( y,x ) E AxB ↔ xEA ᴧ YEB }

                      AxA = A² = { ( x,y ) / xEA  ᴧ YEA }

Ejemplo     sea    A = { 2,4,6 }

                             B = { 1,3 }

                     AxB = { ( 2,1 ) (2,3) (4,1) (4,3) (6,1) (6,3) }

                         PLANO CARTESIANO

                        

Sea     A = { xEN / x < 5 }

            B = { xEZ / X² -1 ≤ 0 }

HALLAR AxB

            A = { 1,2,3,4 }

            B = { -1,0,1 }

AxB = {1,-1} {1,0} {1,1} {2,-1} {2,0} {2,1} {3,-1} {3,0} {3,1} {4,-1} {4,0} {4,1}