UNIDAD III RELACIONES
UNIDAD III
RELACIONES
DEFINICION.-
Sea A,B dos conjuntos definidos en un universo, una relación
R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A por B.
R es una relación
de A en B
R c A x B
Ejemplo
Sea A = { 1,2,3
}
B = {
a,b,c }
Hallar tres
relaciones R1 R2 R3 de AxB
AxB = { ( 1,a ), (1,b ), (1,c ), ( 2,a ), ( 2,b ), ( 2,c ),
( 3,a ), ( 3,b), ( 3,c }
R1 = { ( 1,a ) }
R2 = { ( 1,a ), ( 3,b ) }
R3 = { ( 1,b ), ( 1,c ), (3,c ) }
R4 = { ( 1,1 ), ( 2,2 ), (3,a ) }
Si R es un subconjunto del producto cartesiano AxB, es una relación
de A en B existen dos importantes recursos asociados a esta relación:
DOMINIO
El dominio de R que se escribe D(R) es el conjunto de los elementos de A que están relacionados
con algún elemento del conjunto B. en pocas palabras el D(R) es un conjunto de
A y es el conjunto de todos los primeros elementos de pares ordenados que
pertenecen a R. Es decir:
D(R) = {X/ ( X, Y) E R }
IMAGEN
El imagen ( Rango o recorrido ) de R que se escribe I (R) es
el conjunto de los elementos de B que son los segundos elementos en los pares
ordenados X y Y que pertenecen a Y en
otras palabras es todos los elementos de Y que están relacionados con algún elemento
de A.
I ( R ) = { Y / (X , Y ) E R }
RELACIÓN INVERSA
La RI ( reciproca ) de la relación de R de A en B , es la relación
R-1 de B en A (R⁻¹ de B en A ) , se define :
R ⁻¹ = { ( Y , X ) / ( X , Y ) E R }
{ ( 1 / a
) ↔ { ( a , 1 ) }
COMPOSICIÓN DE
Sea R una relación de A en B y S una relación de B y C
R C A X B y S C B X C
La composición entre una relación
se puede definir de A en C como composición de R y S mediante :
S o R = { ( x , z ) / Ǝ y E B ᴧ ( X , Y ) ϵ R ᴧ ( y , z ) c 5 }
( x, z
) ϵ S o R ↔ Ǝ y E B n ( X , Y ) ϵ R ᴧ ( y , z ) ϵ S
EJEMPLO: A B C
1 2
4
2
4 5
3 6 6
R = { ( 1
, 2 ) (3 , 4 )}
S = { ( 4
, 6 ) (6 , 5 )
S o R = {
( 3 , 6 ) } = R
PROPIEDADES
( S o R ) ⁻¹ ( 4 , 3 ) }
R¹ = { (
2,1 ) ( 4,3 ) }
S¹ = { (
6,4 ) ( 5,6 ) }
( S o R )¹
= R⁻¹ o S⁻¹ = { ( 6,3 ) }
DEFINICIÓN DE
( S o R )(x) = S[R(x)]
( 1,2 ) → S[R(x)] = S[R(1)]
= S(2) = Ǝ/
( 3,4 ) → S[R(x)] =
S[R(x)] = S(4) = 6 ( 3,6 )
S o R = { ( 3,6 ) }
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
A x A = A²
R c A x A
Sea A
R = { ( 1,1 ) ( 1,2 ) ( 2,3 ) ( 3,1 ) ( 4,3 ) }
Si A es igual a B se dice que R es un subconjunto de A x A, es una
relación definida solamente en A
RELACIONES EN RxR
R1 c R x R
R = { ( x,y )/ 1 < x ≤ 3 ^ -2 ≤ y < 4 }
PROPIEDADES
RELATIVAS
Sea R una relación
definida en A, estas estas relaciones satisfacen generalmente ciertas
propiedades que pondremos a continuación:
*RELACIONES REFLEXIVAS
Una relación
R definida en un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento X del
conjunto A esta relacionado consigo mismo.
Sea R c
A² / ( x,y )ER = xRy
R es reflexiva ↔ x: xEA →xRx
Ejemplos A = { 1,2,3,4,5 }
Determinar si R es reflexiva
R1 = { (
1,2 ) ( 2,2 ) ( 1,1 ) ( 3,4 ) ( 5,5 ) NO
R2 = {
(1,2) ( 1,1 ) ( 2,2 ) ( 3,3 ) ( 4,4 ) ( 5,5 ) } SI
RELACIONES
SIMETRICAS
Una relación
R en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par ordenado x,y que pertenece
a la relación, entonces el par ordenado y,x también pertenecen a la relación.
Ejemplo sea R c A²
R es simétrica ↔
xV y EA : xRy → yRx
determinar
si R es simétrico
R1 = { (
1,1 ) ( 2,3 ) ( 3,4 ) } NO
R2 = { (
2,3 ) ( 3,3 ) ( 3,2 ) } SI
*RELACIONES
TRANSITIVAS
Una relación
R definida en un conjunto A, es transitiva si cualquiera que sean los pares
ordenados ( x,y ) ( y,z ) que pertenecen a la relación, entonces el par
ordenado ( x,z ) también pertenece a la relación.
Sea R c A²
R es transitiva ↔
¥x¥ y ¥z : xRy ^ yRz →xRz
Ejemplo sea A = { 1,2,3,4,5 }
R c A²
Determinar si R es transitiva
R = { ( 1,2
) ( 3,3 ) ( 2,4 ) ( 1,4 ) } SI ( 1,2 ) 1R2 ^ 2R4 → 1R4
R = { ( 1,3
) ( 3,4 ) ( 3,3 ) ( 4,3 ) SI ( 1,3 ) 1R3 ^ 3R3 → 1R3
RELACIONES
DE EQUIVALENCIA
Una relación
R definido en un conjunto A es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y
transitiva. En otras palabras si cumplen las tres propiedades anteriormente
mencionadas.
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